単射、全射、全単射

■写像

集合X,Yについて、
	(1)「任意の」x∈X に対して
	(2)「ある」
	(3)「一つの」y∈Yを
対応させる規則fをXからYへの写像といい、
	f:X→Y,	x|-f(x)
と表す。

＊注意
「任意の」x∈X に対して「ある」y∈Yを対応させることができても、
「任意の」y∈Y に対して「ある」x∈Xを対応させることができるとは
限らない。

任意のx∈X に対して「一つの」y∈Yを対応させることができても、
「その」「一つの」y∈Y に対して「一つの」x∈Xを対応させることが
できるとは限らない。
（つまり、一般には、異なるx∈X に対して「一つの」y∈Yが対応する
ことがある）

■単射（１対１の写像）

fが任意のx1,x2∈Xについて、

	x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2)

であること。

■全射（〜の上への写像）

任意のy∈Yについて、y=f(x)となるxが存在する。

■全単射（１対１の対応）

全射かつ単射である。

■逆写像

全単射であれば、逆写像
	g:Y→X,	y|-g(y)
が存在する。

・理由
集合X,Yについて、
	(1)「任意の」x∈X に対して
	(2)「ある」
	(3)「一つの」y∈Yを
対応させる規則fをXからYへの写像といい、
	f:X→Y,	x|-f(x)
と表す、という写像の条件のうち、
「全射」であれば、(1)「任意の」(2)「ある」の条件がみたされ、
「単射」であれば、(3)「一つの」の条件がみたされる。		---[1]

*[1]
「単射」は、fが任意のx1,x2∈Xについて、
	x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2)
を意味し、この対遇は、
	y1=y2 ⇒ x1=x2
である。これは、yに対して「一つの」xが対応することを意味する。